Orthodromie
Un article de Toulouse Sans Fil, un réseau wifi libre sur Toulouse.
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Propriété de Pythagore
Soit E un espace vectoriel euclidien et x, y deux élements de E. x est orthogonal à y ssi ||x+y||²=||x||²+||y||² est-ce qu'on peut avoir une explication plus prolétaire de cette démonstration mathématique magistrale /MQ
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Modèle géographique simplifié
Les coordonnées géographiques terrestres sont exprimées en degrés et fractions de degrés. Ces fractions de degrés sont soit décimal soit exprimés en minutes et secondes. Dans les applications informatiques, les calculs se réalisent en décimal. Mais l'etre humain a parfois du mal a se représenter des fractions de degrés quand ils sont très petits.
par exemple : 1°00'00", 1°00'01" et 1°00'11" sont assez proches, mais l'équivalent en degrés decimal saute moins aux yeux. : 1,0 1,00028 et 1,00306.
Pour en revenir aux coordonnées terrestres, la terre peut-être considérée comme une belle sphère toute ronde et parfaite dont le rayon est de 6366 km. Une simple équation (pi*2r) conduit à mesurer la circonférence de la terre : 40.000 km moins 1.75km (pi*r² calcule la surface d'un cercle, 4pi*r² une sphere); tout le monde connait cette mesure. D'autres valeurs du rayon terrestres sont disponibles sur le net, conduisant sensiblement aux memes valeurs. Nous avons besoin d'un modèle simple et rapide à calculer. Pour information, le rayon au niveau des poles est 20 à 25km plus petit.
La terre est quadrillée en morceaux de 1° sur toute sa surface. Les coordonnées géographique dont chacun dispose sur internet ou GPS sont exprimés selon ce quadrillage. Le découpage vertical (latitudes) est parfaitement rectiligne. Toutes les lignes sont perpendiculaires a l'équateur. Tandis que le découpage des longitudes est effectué à la manière d'un quartier d'orange. (une illustration serait la bien venue).
Sur le site de l'IGN une valeur saute rapidement aux yeux du petit mathématicien que je suis : si la terre fait 40.000km de circonférence pour 360°, je peux dire que un degrés d'arc est équivalent à 111.11 km. Le site de l'IGN arrondi à 111.
Il est important d'avoir cette unité de valeur en esprit. La France qui fait environ un carré de 1000km de coté aura donc une amplitude de 9° de coté.
La zone géographique couverte par notre réseau sans fil sera lui beaucoup plus petit, très probablement moins de 1° de coté. Petit exercice de simplification mathématique :
Soit un grand cercle de 10m de diamètre. Sur ce cercle, vous tracez 2 rayons ouverts de 1° petit degrés. Observez maintenant l'arc de cercle et la droite qui relie les 2 points qui sont à l'extrémité du rayon. Je suppose qu'ils sont presque jointifs, non ?
Tout cela va nous conduire à de grosses simplifications pour représenter des cartes de noeuds dans le contexte des réseaux sans fils.
Vocabulaire
la distance orthodromique est la distance qui sépare 2 points sur une sphère, elle peut-etre matérialisée par un fil qui relie ces 2 points, C'est la mesure de l'arc de grand cercle joignant ces deux points (le plus court chemin ) la distance loxodromique est plus courte que la distance orthodromique (de 3% pour une traversée de l'Atlantique !). Loxodromie vient de loxo = incliné et dromos = course, c'est la fameuse trajectoire à cap constant. On l'obtient en traçant un joli trait droit sur une carte plane (en projection de Mercantor).
Dans le cadre des réseaux sans fils basés sur le systeme Wifi, les distances étant très petites par rapport aux dimensions du globe terrestre on pourra assimiler ces 2 valeurs. Ce qui aura pour conséquence d'aboutir à des formules de calcul beaucoup plus légères et moins consomatrice de CPU, meme si cela reste aussi négligeable. Le tout devant être implémenté en langage php.
Pour les personnes un peu perplexes, les formules basées sur les 2 modèles donnent un écart de 1cm pour 100km et de 500m pour 1000km conversion dms vers degres décimaux et inverse : c'est expliqué sur ce http://www.uwgb.edu/dutchs/UsefulData/UTMFormulas.HTM, en attendant de faire une synthèse
Calcul simplifié de distance entre 2 points
on considèrera :
2 points p1 et p2,
notation pour le point p:
les coordonnées sont p.x, p.y x = longitude, y = lattitude.
formule approximative basée sur la règle de pythagore :
soit a et b les 2 cotés du triangle formé par les 2 points dans le repère orthonormé d la distance a calculer en km m la latitude moyenne r dimension d'un degrés a l'équateur
nous aurons :
r = 111km m = (p1.y+p2.y)/2 b = (p2.y - p1.y) * r a = (p2.x - p1.x) * r * cos(m) d = racine_carre(a²+b²) (en kilometres)
Distance orthodromique
la distance réelle, orthodromique est disponible sur le site Lion1906 (http://www.lion1906.com/). Voici la formule complète facilement implémentable en php :
Ortho(A,B)=6366 x acos(cos(LatA) x cos(LatB) x cos(LongB-LongA)+sin(LatA) x sin(LatB))
Calcul de cap ou azimuth
le calcul de l'angle par rapport au nord géographique (ou magnétique) est identique. Il utilise de la meme facon une équation triangulaire a base de pythagore. L'approximation est dans notre cas largement suffisante étant donné que le dispositif de pointage dont dispose le Wifiste est une simple boussole. La précision de visée est tres aléatoire suivant l'habitude de chacun. Attention aux perturbations de champs magnétique sur les toits en proximités de pièces métaliques.
Les calculs ci-dessous ne tiennent pas compte de la déclinaison magnétique. Elle est de 2.2° dans les environs de Toulouse pour l'année 2004. Elle varie constament au fil des ans puisque le pole nord magnétique se déplace de facon assez aléatoire de 40km par ans. Figurez vous que le pole nord magnétique était placé au nord de l'angleterre dans les années 1600-1700. Il est actuellement beaucoup plus haut, c'est pourquoi nous avons tendance à le négliger, mais suivant les latitudes cela peut conduire à des erreurs importantes.
En pratique une précision de 5° est suffisante pour le calcul du cap. Le cap ou azimuth représente le nombre de degrés d'ouverture dans le sens des aiguilles d'un montre. A midi, le cap est de 0, a 3h, le cap est de 90° et ainsi de suite ...
La formule
a = p2.y - p1.y b = p2.x - p1.x azimuth = atan(b/a) si a<0: azimuth = 180+azimuth si a>0 et b<0 : azimuth = 360+azimuth azimuth est maintenant une valeur qui varie entre 0 et 360°, fonction de p1 et p2. nota: les longitudes Ouest ainsi que les latitudes Sud devront être exprimées en négatif ex: 12°Ouest = -12°
Crédits
Liens
- calculs simplifiés,
- Lion1906 : l'orthodromie, les calculs exacts, le cap ...
- des classes php pour réaliser une cartographie simplifiée adapté au monde Wifi : calculs de distance, cap, atténuation affichage de cartes, zoom.
- Maporama vous donne vos coordonnées géographiques.
- formules Haversine (http://www.movable-type.co.uk/scripts/LatLong.html) pour des calculs simplfiés